模糊理論 - Fuzzy set

人類的口語常帶有"模糊"的意義，但大部分的形容詞還是可以被量化成如下方的座標圖，被稱為意義的數量化(Quantification of Meaning)，也就是模糊集合的來源

明確集合(crisp set) 

1. 可以確定元素x是否在該集合中
2. 特性函數(characteristic function) 表示元素x 是否在明確集合A中
   
   
   
   
   
3. 明確集合基本性質包含了: 交換率、結合率、迪摩根定律等

模糊集合(fuzzy set)

1. 用degree 表示x屬於該模糊集合的程度為多少
   
   
2. 特性函數通常稱作歸屬函數(membership function)，用來表示元素x屬於模糊集合A中的程度
   
   
3. 模糊集合的membership function為連續的稱作"連續型模糊集合"，若為不連續則稱作"離散型模糊集合"
   (通常如果x軸單位是人，通常是discrete；若是溫度之類的，則是continuous
   
   
4. α-cut
   $${ ^\alpha}A=\{x|A(x)\geq\alpha\}$$
   為一個明確集合，包含宇集合X中的元素x之歸屬度A(x) 大於或等於α 
   
   
5. strong α-cut
   $$^{\alpha+}A=\{x|A(x)>\alpha\}$$
   為一個明確集合，包含宇集合X中的元素x之歸屬度A(x) 大於α 
   
   
6. Support(底集) of fuzzy set A $$^{0+}A$$
   
7. core(核) of fuzzy set A $$^1A$$
   
8. height of the fuzzy set A $$h(A)=\mathop{max}\limits_{x\in X}A(x)$$ 當h(A)=1的時候，稱A為正規(normal)模糊集合
   
9. Convex(凸型集合) 當模糊集合A 為正規模糊集合且滿足
   $$A(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2) \geq min(A(x_1),A(x_2))\quad\text{in which}\quad\lambda \in [0,1]$$
   
10. 把模糊集合A中α-cut之所有α集中起來叫做該模糊集合之位階集合(Level Set)
    $$\Lambda (A)=\{\alpha|A(x)=\alpha, for \quad x\in X\}$$
    
    
11. 對任何離散式模糊集合A，其宇集合X為有限的，我們定義
    $$|A|=\sum_{x\in X}A(x)$$
    為純基數(Scalar Cardinality)